| ||||||
|
| |||||
УченикамПрезентация по географии 7 класс "АВСТРАЛИЯ", подготовила Джлавян Зоя Презентация по биологии 7 класс "СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ РЫБ", подготовила Гусева Лидия Презентация по биологии 7 класс "ПЧЁЛЫ И МУРАВЬИ - ОБЩЕСТВЕННЫЕ НАСЕКОМЫЕ", подготовил Гусев Валерий
Проект ученика 9 класса Круглова Николая «От землемерения к геометрии и от геометрии к измерительным работам на местности»
Федеральная научно-образовательная программа творческого и научно технического развития детей и молодёжи «ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА» III Всероссийский детский конкурс «Первые шаги в науке»
Секция: Математика Тема: «От землемерения к геометрии и от геометрии к измерительным работам на местности»
Автор работы: Круглов Николай Место выполнения работы: МОУ Артёмовская основная общеобразовательная школа 9 класс Тверская область Научный руководитель: Круглова Л.А.
2010 год
Содержание ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………………4. 1.ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ КАК НАУКИ…………………… 6 1.1. Геометрия в Древнем Египте……………………………………………………6 1.2. Геометрия в Вавилоне……………………………………………………………7 1.3. Древнеиндийская геометрия ……………………………………………………8 1.4. Геометрия в Древней Руси …………………………………………………….. 8
2.ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ РАБОТ НА МЕСТНОСТИ……………………………………………………………………………..10 2.1. Нахождение высоты предмета…………………………………………….10 2.1.1. С помощью тени ……………………………………………………….10 2.1.2. С помощью шеста с вращающейся планкой………………………..11 2.1.3. . Оценка точности измерительной работы……………………….11 2.1. Определение расстояния до недоступной точки………………………….12 2.1.1. Через подобие треугольников…………………………………………..12 2.1.2. С помощью теоремы косинусов ……………………………………….13.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………14 ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………………………..15
Цель работы: · познакомиться с историей возникновения системы геометрических знаний в связи с потребности выполнения практических задач; · практическое применение теоретических знаний по геометрии к решению практических задач на местности; .
Предусматривает выполнение следующих задач: · познакомиться с применением измерительных приборов; · изготовить самостоятельно простейшие приборы для выполнения измерительных работ на местности; · установить связь между теоретическими знаниями по геометрии и их применением на практике; · выяснить возможность существования различных способов нахождения одних и тех же величин; · оценить точность измерений, полученных практическим способом; · оценить возможность и удобство применения подобных способов измерения в быту.
ВВЕДЕНИЕ Геометрия (от греч. ?? — Земля и ?????? — мера, измерение) — раздел математики, изучающий пространственные отношения и их обобщения. В геометрии можно условно выделить следующие разделы:
Традиционно считается, что родоначальниками геометрии являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в науку. Превращение это произошло путём абстрагирования от всяких свойств тел, кроме взаимного положения и величины. Наукой геометрия стала, когда от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей. Греки составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают составленные около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Этот труд и поныне остаётся образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений — аксиом. Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием. Крупнейший историк древности Геродот, как и математик Демокрит, философ Аристотель и другие древнегреческие ученые и писатели, считал Египет колыбелью геометрии. Демокрит, например, писал: «В построении линий я никем не был превзойден, даже египетскими гарпедонаптами». Так называемые гарпедонапты были, как полагают, землемерами, которые для выполнения своих работ пользовались натянутыми веревками. Геометрия как практическая наука нужна была египтянам не только для восстановления границ земельных участков после каждого разлива Нила, но и при различных хозяйственных работах, при сооружении оросительных каналов, грандиозных храмов и пирамид, при высечении из гранита знаменитых сфинксов и т. п. Содержащиеся в дошедших до нас папирусах геометрические сведения и задачи почти все относятся к вычислению площадей и объемов. В них нет никаких указаний на способы вывода тех правил, которыми пользовались египтяне для вычисления длин, площадей и объемов; часто употреблялись правила приближенных подсчетов. Высшим достижением египетской геометрии следует считать точное вычисление объема усеченной пирамиды с квадратным основанием, содержащееся в «Московском папирусе» Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Примерно одновременно с этим Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями.
1.ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ КАК НАУКИ 1.1. Геометрические знания в Древнем Египте Современная наука располагает сравнительно небольшим числом египетских математических документов - около пятидесяти папирусов. Самым древним из них является «московский папирус», относящийся к эпохе 1850 г. до н.э. и содержащий 25 задач с решениями. Папирус был приобретен в 1893 г. русским востоковедом B.C. Голенищевым, а в 1912 г. перешел в собственность Московского музея изобразительных искусств. Папирус расшифрован русским академиком Б.А. Тураевым в 1917 г., а детально изучен в 1927 г. советским академиком В.В. Струве. Другие папирусы относятся к более позднему периоду, а их содержание во многом повторяет «московский» и «лондонский». В задачах речь идет о количестве хлеба и различных сортов пива, о кормлении животных и хранении зерна. Геометрические задачи касаются преимущественно измерений и содержат правила для вычисления площадей треугольника и трапеции. Для вычисления площади произвольного четырехугольника со сторонами a, b, c, d использовалось правило, записываемое в современных обозначениях в виде S=2a+c Судя по одной из задач папируса Ахмеса, египтянам было известно свойство средней линии трапеции. Этот факт подтверждается рисунками на стенах храма Эдфу в Верхнем Египте, сделанными в более поздний период (II в. до н.э.). В папирусах есть правила для вычисления объемов таких тел, как куб, параллелепипед, цилиндр, причем все они рассматриваются конкретно как сосуды для хранения зерна. Самым замечательным результатом в египетских измерениях была формула (точнее, правило, ибо никаких формул тогда, конечно, не было) для вычисления объема усеченной пирамиды с квадратным основанием V=3h(a2+a Этот результат, которому не найдено соответствующего ни в какой другой древней математике, особенно примечателен тем, что нет никаких оснований считать, что египтянам была известна теорема Пифагора! Ссылки на рассказы древнегреческих ученых, побывавших в Египте и видевших арпадонаптов, строивших прямые углы с помощью веревки, имевшей 3 + 4 + 5 = 12 узлов, не подтверждаются египетскими текстами. По тем же причинам сомнительно сознательное использование египтянами подобия, хотя в погребальной камере отца фараона Рамсеса II одной из пирамид обнаружена стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену можно переносить в увеличенном виде рисунки меньших размеров. В Древнем Египте не было терминов «фигура», «сторона фигуры». Вместо этого использовались слова «поле», «границы поля», «длина поля». Все математические знания египтян были исключительно рецептурными и не осознавались в качестве самостоятельной ветви знаний'. Несмотря на путешествия египтян в папирусных лодках, астрономия в Египте находилась на таком же примитивно-прикладном уровне, что и математика. Однако и крупнейший историк древности Геродот, и философ Демокрит, и сам Аристотель именно Египет считали колыбелью геометрии. Вот что пишет об этом древнегреческий ученый Евдем Родосский (V в. до н.э.). «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли вследствие разливов Нила, постоянно смывающего границы участков. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из практических потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное». 1.2.Геометрия в Вавилоне Возделывание почвы в районах блуждающих Тигра и Евфрат, текущих с Армянского нагорья, требовало большего технического искусства и регулировки, чем в районе Нила. К тому же Двуречье было перекрестком многочисленных караванных путей. Вместе с товарами в Вавилон попадали знания других народов. Шумеры писали на глиняных плитках, которые в большом количестве находят при раскопках. Найдены 44 глиняные таблички, которые можно считать своеобразной математической энциклопедией вавилонян, относящейся к 2000 г. до н.э. В табличках даны способы решения практических задач, связанных с земледелием, строительством и торговлей. Основной чертой геометрии вавилонян был ее арифметико-алгебраический характер. Как и в Египте, геометрия развивалась на основе практических задач измерения, но геометрическая форма задачи обычно являлась только средством для постановки алгебраической проблемы. Приведем пример, взятый с одной из табличек периода царствования Хаммурапи. «Площадь А, состоящая из суммы двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет стороны другого квадрата, уменьшенной на 10. Каковы стороны квадратов?» Если x и y — стороны квадратов, то мы будем иметь систему уравнении x2 + y2 = 1000; y=32x?10, сводящуюся к квадратному уравнению 913x2?340x?900=0, имеющему положительный корень x = 30. В действительности решение задачи в клинописном тексте таблички, как и во всех восточных задачах, ограничивается перечислением всех этапов вычисления, необходимых для решения квадратного уравнения: «Возведи в квадрат 10, это дает 100, вычти 100 из 1000, это дает 900...» и так далее. Тексты глиняных табличек вавилонян содержат правила для вычисления площадей простых прямолинейных фигур и для объемов простых тел. Теорема Пифагора была известна не только для частных случаев, но и в полной общности — трудно даже предположить, что вавилоняне подбором смогли найти такие «пифагоровы тройки» чисел, как 65; 72; 97 или 3456; 3367; 4825. Помимо простейших фигур, рассматривавшихся в Египте, математики Вавилона изучали некоторые правильные многоугольники, сегменты круга. Решались также задачи на подобие фигур. Пропорциональность отрезков, образующихся на прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна задолго до Фалеса. Это подтверждают клинописные таблички с задачами на построение пропорциональных отрезков путем проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов. Известно было и свойство средней линии трапеции. В заключение отметим, что вавилонская математика оказала огромное влияние на математику Индии и Древней Греции, а также послужила отправным пунктом для расцвета математической культуры Ванского царства (Урарту) и соседней с ним Армении.
1.3.Древнеиндийская геометрия Древнеиндийская геометрия имела ярко выраженный практический характер и была тесно связана как с повседневными потребностями, так и с религиозными обрядами, в частности с культом жертвоприношения. В части дошедших до нас под названием «Сульва-сутра» («Правила веревки») священных древнеиндийских книг излагаются свойства фигур, связанных с построением алтарей-жертвенников. В настоящее время известно три книги «Сульва-сутра», авторами которых считаются Бодгойана (или Бодгоя-на, VI-VII в. до н.э.), Катиайана (или Катияна, IV-V в. до н.э.) и Апастамба (IV-V в. до н.э.). В этих книгах встречаются описания вычисления площадей, построения квадрата по данной его стороне, деление отрезка пополам, есть примеры практического применения подобия треугольников и теоремы Пифагора, которая имела следующую формулировку: «Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его большей и меньшей сторон. Квадрат на диагонали квадрата в два раза больше самого квадрата». В «Сутрах» правила и приемы приводятся так же, как у египтян и вавилонян, без каких-либо объяснений. Вот как выглядит «правило Катиайаны» для построения квадрата, равновеликого кругу: «Разделить диаметр на 15 равных частей и взять 13 таких частей для стороны квадрата, равного по пощади данному кругу». А вот правило для построения прямого угла — перпендикуляра к направлению жертвенника: «К концам отрезка длиной 39 прикрепим концы веревки длиной 51 с узлом на расстоянии 15 от одного из концов; держа за узел и, подтянув веревку, получим прямой угол». Кроме приведенной выше, индийцы знали другие пифагоровы тройки, например, 8; 15; 17 и 12; 35; 37. 1.4.Геометрия в Древней Руси Интересно отметить некоторые черты развития практической геометрии в Древней Руси. Уже в XVI в. нужды землемерия, строительства и военного дела привели к созданию рукописных руководств геометрического содержания. Первое дошедшее до нас сочинение этого рода носит название «О земном верстании, как земля верстать». Оно является частью «Книги сошного письма», написанной, как полагают, при Иване IV в 1556 г. Сохранившаяся копия относится к 1629 г. В этой рукописи все геометрические сведения сводятся к вычислению площадей квадрата, прямоугольника, треугольника и равнобочной трапеции. Площади первых двух фигур определяются правильно. А вычисления площадей треугольников и трапеций даны с грубыми приближениями.
При разборе Оружейной палаты в Москве в 1775 г. была обнаружена инструкция «Устав ратных, пушечных и других дел, касающихся до военной науки», изданная в 1607 и 1621 гг. и содержащая некоторые геометрические сведения, которые сводятся к определенным приемам решения задач на нахождение расстояний. Вот один пример. Для измерения расстояния от точки Я до точки Б рекомендуется вбить в точке Я жезл примерно в рост человека.. К верхнему концу жезла Ц прилагается вершина прямого угла угольника так, чтобы один из катетов (или его продолжение) проходил через точку Б. Отмечается точка З пересечения другого катета (или его продолжения) с землей. Тогда расстояние |БЯ| относится к длине жезла |ЦЯ| так, как длина жезла к расстоянию |ЯЗ|. Для удобства расчетов и измерений жезл был разделен на 1000 равных частей. Большинство рукописей XVII в. отличается сугубо практическим характером, задачи решаются иногда с грубыми приближениями, например, при вычислении объемов житниц в виде цилиндров для я берется значение 3, а в одном случае за площадь косоугольного треугольника берется пол у произведение двух сторон. Однако имеются и рукописи теоретического характера, содержащие систематическое изложение элементов геометрии. Так называемая «рукопись Елизарьева», относящаяся к первой четверти XVII в., превосходит по содержанию, систематичности изложения и методическому направлению все другие известные нам геометрические рукописи того же века. В 1703 г. появилась «Арифметика» Магницкого,: содержавшая отдельные сведения практической геометрии, в том числе и некоторые правила Герона. В 1708 г. вышел первый печатный русский учебник геометрии, озаглавленный «Геометрия словенски землемерие». Второе издание этой книги, посвященной геометрическим построениям, вышло через год и было названо «Приемы циркуля и линейки». Изданная в 1714 г. «Геометрия практика» содержит преимущественно сведения для вычислений, ее можно считать первым русским руководством по тригонометрии. Эти книги начала XVIII в., появившиеся в связи с Петровскими преобразованиями, носили практический характер, наподобие западноевропейских руководств «практической геометрии» XVII и начала XVIII вв. В 1739 г. вышло в Петербурге первое русское издание «Начал» Евклида, переведенное с латинского языка Иваном Сатаровым и под редакцией А.Фархварсона. В 1748 г. появилось «Краткое руководство к теоретической геометрии» Г. В. Крафта.
2.ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ РАБОТ НА МЕСТНОСТИ. 2.1. Нахождение высоты предмета Рассмотрю несколько способов нахождения высоты предмета с помощью измерительных приборов и применения геометрических знаний. 2.1.1. С помощью тени Измерение можно проводить в солнечную погоду. Из измерительных приборов потребуется только рулетка. Измерим длину тени столба и длину тени человека. Построим два прямоугольных треугольника, они подобны по первому признаку подобия, так как человек и столб по отношению к уровню земли расположены перпендикулярно, а в один и тот же момент времени солнце освещает предметы под одним углом. Используя подобие треугольников составим пропорцию (отношение соответственных сторон), из которой и найдём высоту столба. В1
С1 А1
Измерения: ВС=1,64м, АС=1,4м, С1А1=9м
Вычисления:
2.1.2. С помощью шеста с вращающейся планкой Для выполнения этой работы нужно изготовить простой прибор-шест с вращающейся планкой, также потребуется рулетка, веха. Поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку С1 столба. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А1А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А1С1В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников ( угол А1 = углу А = 90о, угол В – общий). Из подобия треугольников следует;
Измерив расстояния ВА1 и ВА (расстояние от точки В до основания столба и расстояние до шеста с вращающейся планкой), зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту А1С1 столба.
С
Измерения: АС=1,5м, А1В=7,4м, АВ=1,13м Вычисления: 2.1.3. . Оценка точности измерительной работы. Я выяснил у работников электроподстанции, что высота столба над уровнем земли должна составлять по нормам 10м, значит, при нахождении высоты с помощью шеста, абсолютная погрешность измерений составляет около 0,2м, а с помощью тени 0,54м. Думаю, что это зависит от того, что трудно определить с достаточной точностью границы тени при выполнении измерительных работ на местности.
2.1. Определение расстояния до недоступной точки. 2.1.1. Через подобие треугольников Для выполнения данной работы потребуется астролябия (прибор для измерения углов на местности), рулетка и вехи. Вехи устанавливаю в точках А и В и с помощью астролябии измеряю угол ? и угол ?. Рулеткой измеряю расстояние от точки А до точки В. На плоскости строю треугольник А1В1С1 с углами, равными ? и ?, этот треугольник будет подобен треугольнику АВС по первому признаку подобия (по двум углам), следовательно можно найти сходственные стороны треугольников на плоскости - измерением, а на местности вычислением.
С1
? ? А1 В1
Измерения: С1В1= 2,6см=0,026м Вычисления:
2.1.2. С помощью теоремы косинусов Измеряю расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (пруд). Точки А и В доступны. Для выполнения данной работы потребуется астролябия , рулетка и вехи. Вехи устанавливаю в точках А и В и с помощью астролябии измеряю угол С . Рулеткой измеряю расстояние от точки А до точки С и от точки С до точки В. Выбирают третью точку С, из которой видны точки А и В и могут быть непосредственны измерены расстояния до них. Получается треугольник, у которого даны угол АСВ (измеряется с помощью астролябии) и стороны АС и ВС. На основании этих данных по теореме косинусов можно определить величину стороны АВ – искомое расстояние.
Измерения: АС=7,7м, ВС=6,8м,
Вычисления:
Проверить результаты измерений в п.2.1.1 и 2.1.2 практическим способом очень сложно, поэтому я не смог оценить насколько точными оказались результаты работы.
Заключение
С помощью практических измерений, применяя признаки подобия, теорему синусов или теорему косинусов можно находить , например: ширину реки, расстояние от каждой из двух недоступных точек, то есть те расстояния, которые по какой-либо причине найти путём измерения невозможно. Ввиду того, что элементарные измерительные приборы можно изготовить самостоятельно или обойтись подручными средствами, этот способ измерения доступен, прост и может быть использован в быту. Измерения полученные данными способами достаточно точны. И существует множество других способов выполнить измерительные работы на местности с помощью несложных приспособлений или подручных средств. Тем самым можно сделать вывод, что теоретические знания по геометрии даже для современного человека в век компьютеров могут быть большим подспорьем в решении многих практических задач.
ЛИТЕРАТУРА
2.Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. / Я.И. Перельман. - Ростов н/Д: ЗАО «Книга», 2005 3 . http://ru.wikipedia.org/wiki/
Проект учащейся 8 класса Цымбаловой Любови "Деревня моя, деревянная дальняя" принял участие в конкурсе "Моя законотворческая инициатива".
| ||||||
|
| ||||||
| НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ. ИНФОРМАТИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ. Сайт сделан по технологии "Конструктор школьных сайтов". | ||||||
